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2e partie : enseignement secondaire

Notions de registre et de cadre de rationalité en inter-didactique des mathématiques et de la physique

Didier Malafosse, Alain Lerouge et Jean-Michel Dusseau
p. 49-60

Résumés

La question de déterminer sous quelles conditions des concepts élaborés dans le champ de la didactique d'une discipline donnée sont transposables à la didactique d'une autre discipline est régulièrement posée par de nombreux chercheurs. Pour notre part, nous avons tenté de répondre à cette question dans le cas particulier du transfert, en didactique de la physique, de quelques concepts mis en oeuvre en didactique des mathématiques pour analyser les processus de conceptualisation. Cette tentative nous a conduits à élaborer un modèle que nous qualifions d'inter - didactique car permettant de modéliser les processus de conceptualisation dans les deux disciplines. Il s'appuie sur les notions de cadre et de registre sémiotique développées de manière spécifique en didactique des mathématiques, et sur une notion nouvelle, celle d'espace de réalité, dont la nécessité s'impose de façon évidente en didactique de la physique, mais dont nous montrons l'utilité en didactique des mathématiques.

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Texte intégral

1Les professeurs qui enseignent les sciences physiques et leurs collègues de mathématiques sont souvent en désaccord lorsqu'il s'agit d'analyser les difficultés rencontrées par leurs élèves dans le transfert de connaissances d'une discipline à l'autre. Ce constat nous a amenés à développer un programme de recherche en inter-didactique des mathématiques et de la physique (Malafosse, Lerouge & Dusseau, 2000, 2001) visant à travailler, d'un point de vue croisé, les processus de conceptualisation mis en œuvre dans les deux disciplines.

2Si au niveau historique, la seule évocation des noms de Descartes, de Pascal, ou de Fourrier, montre à quel point les développements respectifs des mathématiques et de la physique sont intimement liés, au niveau didactique, les rapprochements entre les deux disciplines sont balbutiants, et rares sont les travaux de recherche qui abordent la problématique de la conceptualisation scientifique d'un point de vue inter-disciplinaire. Dans le courant émergeant du rapprochement des didactiques, plusieurs stratégies se font jour. Une tendance consiste à choisir une notion didactique pertinente dans une discipline et à la mettre à l'épreuve dans l'autre dans une perspective de transfert. La notion didactique considérée est alors l'objet de l'étude inter-didactique (Fig. 1).

Figure 1
Stratégie de la notion-objet.

3Une autre tendance consiste à analyser les processus de conceptualisation des élèves sur des concepts transversaux, et à mener une étude différentielle de ces processus dans chaque discipline. Dans ce cas, les notions didactiques auxquelles on a recours sont mises en œuvre en tant qu'outils d'analyse des phénomènes observés (Fig. 2).

Figure 2
Stratégie de la notion-outil.

4Dans le contexte d'une étude sur la proportionnalité dans l'enseignement de la loi d'Ohm en classe de Troisième, notre démarche de recherche a consisté à utiliser de manière dialectique ces deux stratégies. Dans un premier temps, la comparaison des processus cognitifs développés en mathématiques et en physique nous a amenés à mobiliser un certain nombre de notions didactiques comme outils aptes à rendre compte des obstacles induits par le passage d'une discipline à l'autre. Dans un second temps, nous avons pris ces notions comme objet d'étude dans la perspective de les faire évoluer pour les intégrer entre elles dans un modèle inter-didactique. Au terme de plusieurs cycles expérimentaux outil - objet, nous avons stabilisé notre approche sur deux notions issues de la didactique des mathématiques : celle de registre sémiotique (Duval, 1995), et de cadre de rationalité (Lerouge, 1992).
L'objet de cet article est de présenter ces notions dans leur contexte d'origine, puis d'en montrer l'intégration dans l'analyse de processus de conceptualisation en inter-didactique des mathématiques et de la physique.

Les registres sémiotiques

5La notion de registre sémiotique a été introduite en didactique des mathématiques par R. Duval, qui n'a pas envisagé son transfert à d'autres contextes didactiques.

Représentations sémiotiques et représentations mentales

6R. Duval (1993) insiste sur le fait que les représentations sémiotiques sont plus qu'un « simple moyen d'extériorisation des représentations mentales à des fins de communication »et qu'elles interviennent à plusieurs niveaux de l'activité cognitive : le développement des représentations mentales, l'accomplissement des différentes fonctions cognitives, et la production de connaissances nouvelles.

« On ne peut pas faire comme si les représentations sémiotiques étaient simplement subordonnées aux représentations mentales, puisque le développement des secondes dépend de l'intériorisation des premières et que seules les représentations sémiotiques permettent de remplir certaines fonctions cognitives essentielles » (Duval, ibid).

Registre sémiotique

7Après avoir postulé que « les représentations sémiotiques sont des représentations dont la production ne peut pas se faire sans la mobilisation d'un système sémiotique »(1995a), R. Duval caractérise un registre sémiotique comme un système sémiotique « permettant de remplir[à la fois] les trois fonctions cognitives fondamentales : »la « fonction de communication », la « fonction de traitement »[c'est-à-dire la transformation de la représentation sans changer de système sémiotique], et la « fonction d'objectivation »[permettant à la fois la prise de conscience de l'existence de la représentation en tant que telle, et sa conversion dans un autre système sémiotique].

8Les activités mathématiques nécessitent que l'élève fasse appel à plusieurs registres sémiotiques, par exemple le registre de la langue naturelle, celui de l'écriture algébrique, ou celui des représentations graphiques cartésiennes. L'apprentissage se fonde pour une part sur le jeu entre ces différents registres, qu'il apparaît indispensable de coordonner.

Coordination des registres sémiotiques

9Les travaux de R. Duval ont mis à mal l'idée généralement admise que le choix pertinent d'un seul registre sémiotique permettait la compréhension du contenu conceptuel représenté.

« La compréhension (intégrative) d'un contenu conceptuel repose sur la coordination d'au moins deux registres de représentation, et cette coordination se manifeste par la rapidité et la spontanéité de l'activité de conversion ». Mais « cette coordination est loin d'être naturelle. Et elle ne semble pas pouvoir se réaliser dans le cadre d'un enseignement principalement déterminé par des contenus conceptuels » (Duval, 1995a).

10Cet auteur met en évidence à quel point le cloisonnement des registres chez les élèves les conduit à ne pas reconnaître « le même objet à travers des représentations qui en sont données dans des systèmes sémiotiques différents ».Pour lever ce cloisonnement il a recours à la notion de « congruence » entre deux représentations sémiotiquement différentes et qui représentent au moins partiellement le même contenu. Deux représentations sont « congruentes » pour l'apprenant s'il est capable d'établir une correspondance sémantique biunivoque entre les éléments signifiants de ces représentations dans leurs registres sémiotiques respectifs. Lorsque des représentations ne sont pas congruentes, par manque « d'apprentissage préalable concernant les spécificités sémiotiques de formation et de traitement de représentation qui sont propres à chacun des registres en présence »,non seulement le temps de traitement est important, mais encore la conversion se révèle « impossible à effectuer, ou même à comprendre ».

Complémentarité des registres et économie de traitement

11A cette idée de conversion de registre nécessaire à la compréhension conceptuelle s'ajoute celle de complémentarité des approches qu'apporte l'utilisation de registres sémiotiques différents. Bresson (1987) a montré que, dès que l'on choisit un registre sémiotique pour représenter un contenu cognitif, les possibilités et les contraintes sémiotiques du registre conduisent à ne sélectionner que certains éléments significatifs du contenu. Il s'ensuit que la représentation sémiotique ne représente qu'une partie de ce contenu, et que ce n'est que par le rapprochement des représentations d'un même contenu dans divers registres que l'on peut espérer le représenter dans toute sa complexité cognitive.

12Enfin, la maîtrise de plusieurs registres permet d'en changer de façon à réaliser les traitements cognitifs de la manière la plus économique possible. Pour s'en convaincre, il suffit d'essayer de formuler dans le registre de la langue naturelle un raisonnement de type calcul. On constatera immédiatement l'économie réalisée en se plaçant dans le registre de l'écriture algébrique.

Les cadres de rationalité

13En référence aux travaux de R. Douady (1984), A. Lerouge (1992), définit un « un cadre de rationalité »comme « un ensemble cohérent de fonctionnement de la pensée caractérisé par quatre composantes : son monde d'objets, ses champs de concepts, son mode de rationalité, et ses registres de signifiants ».

14Depuis une dizaine d'année, cette définition a sensiblement évolué, et nous retenons aujourd'hui, les quatre composantes suivantes :

  • 1. les objets (nous reviendrons sur ce terme) du cadre ;

  • 2. le type de processus de conceptualisation (familier ou scientifique au sens de L.S. Vygotski) mis en œuvre ;

  • 3. les règles de rationalité (ce sont les règles de validation, mais aussi les règles de raisonnement) ;

  • 4. et enfin les registres sémiotiques support de conceptualisation et de communication.

15Par exemple, analysant les processus de conceptualisation de la droite au collège, A. Lerouge (2000) en arrive à la conclusion qu'il existe entre le cadre familier d'un élève de collège et le cadre culturel de la géométrie enseignée quatre niveaux de ruptures :

  • 1. « une rupture d'objet entre la droite matérielle et la droite idéelle ;

  • 2. une rupture de processus de conceptualisation entre la conceptualisation spontanée et la conceptualisation scientifique ;

  • 3. une rupture de processus de validation entre le constat figurai et la démonstration ;

  • 4. et une rupture de registre sémiotique entre le dessin et la figure ».

Extension de la notion

16Initialement limitée à l'analyse des ruptures entre le versant sujet et le versant culturel dans l'apprentissage des mathématiques, nous avons étendu la notion de cadre de rationalité à la comparaison de deux cadres culturels, notamment celui des mathématiques et celui de la physique. Cela nous a amenés à travailler le champ conceptuel de la proportionnalité au travers de trois cadres de rationalité : les cadres culturels des mathématiques et des sciences physiques, et le cadre personnel de l'apprenant au regard de la parcellisation de l'espace de pensée en plusieurs sous cadres, qui entraîne la coexistence de conceptions concurrentes.

  • 1  Le terme « registre » employé par ces auteurs recouvre dans notre terminologie la notion de cadre (...)

17Comme l'écrivent Johsua et Dupin (1993), cette parcellisation en « registres1 de fonctionnement cognitif » peut aboutir à :

« de très fortes contradictions logiques entre les raisonnements utilisés dans chaque cas, un raisonnement pouvant, par exemple, et en toute rigueur, invalider l'autre. Mais alors que l'exigence de cohérence interne est constitutive du discours scientifique, elle ne l'est pas au même titre dans le comportement d'un individu donné. La règle ici est au contraire celle de la cohabitation de conceptions différentes, relativement étanches entre elles, correspondant à une classe de problèmes semblables (au yeux de l'élève), conceptions qui appellent des registres différents de fonctionnement cognitif ».

18La figure qui suit (Fig. 3) schématise cette modélisation en faisant apparaître un cadre culturel de rationalité comme une instanciation disciplinaire du champ conceptuel (G. Vergnaud, 1992), et le cadre personnel du sujet comme la juxtaposition de sous cadres induits par les cadres culturels correspondants. Le point d'interrogation sur la flèche du bas pose la problématique de l'unification non uniforme de l'espace de pensée du sujet.

Figure 3
Champ conceptuel et cadres de rationalité.

19Ce schéma fait apparaître une différenciation de vocabulaire entre concept et conception. Au sens de M. Bunge (1983), nous avons distingué les « objets conceptuels » produits par la culture (ici les concepts) des « objets mentaux » pensés par le sujet (ici les conceptions). Nous avons généralisé cette dualité à l'ensemble du vocabulaire utilisé (A. Lerouge, 2000). En corollaire, dans la ligne de la classification de M. Bunge, nous avons défini les « objets matériels » comme des objets hors du cadre psychique et du cadre culturel, ce qui nous a amenés à introduire la notion « d'espace de réalité ».

L'espace de réalité

20Prenons un exemple simple, d'objet dit « matériel » : un tuyau de cuivre. Cet objet de la réalité n'est pas perçu de la même façon par un plombier qui peut le considérer comme un morceau de canalisation, par un électricien qui peut l'imaginer comme un élément de circuit électrique, ou encore par un hooligan qui envisage de s'en servir comme d'une arme. Cet exemple montre bien la différence entre l'objet matériel et l'objet mental, et ouvre la problématique de la réalité. Notre position épistémologique a été de postuler l'existence d'un « espace de réalité » défini comme l'ensemble des objets réels et des événements existant hors de la pensée personnelle ou collective, et sur lequel portent à la fois l'activité psychique des individus et l'activité de réflexion des communautés culturelles. Dans cette perspective, la conceptualisation apparaît comme une « projection » de l'espace de réalité dans un cadre personnel de rationalité via le filtre de divers cadres culturels (D. Malafosse, 1999).

Exemples de mise en œuvre coordonnée des notions de registre sémiotique et de cadre de rationalité dans une perspective inter-didactique

21Le schéma qui suit (Fig. 4) présente de manière synthétique l'articulation des notions de registre sémiotique et de cadre de rationalité que nous avons mis en œuvre dans une perspective inter-didactique. Spécifié à l'apprentissage de la loi d'Ohm, il fait apparaître le registre graphique et le registre algébrique comme registres fondamentaux de cet apprentissage, et les démarches antinomiques induction/déduction qui marquent la rationalité des cadres mathématique et physique. Sur la base de cette modélisation, nous avons travaillé les continuités et les ruptures de registres sémiotiques entre ces deux cadres de rationalité. Nous donnerons pour exemple deux extraits de nos expérimentations : un débat entre des PLC2 de mathématiques et de physique et des activités d'élèves lors d'une séquence en classe de Troisième.

Figure 4
Coordination des notions de cadre de rationalité et de registre sémiotique.

Analyse d'un débat entre des PLC 2 de mathématiques et de physique

22Dans une première expérimentation, nous avons organisé et filmé deux débats regroupant chacun vingt professeurs stagiaires de sciences physiques et de mathématiques à partir d'un questionnaire relatif à la représentation cartésienne utilisée en fin de Troisième, tant dans le cadre des mathématiques (représentations de fonctions) que dans celui des sciences physiques (caractéristiques de dipôles, etc.). Ce questionnaire était structuré en trois parties :

  • définitions des objets géométriques qui apparaissent sur le graphique ;

  • procédures d'obtention et traitement de ces objets ;

  • statut de preuve d'un constat graphique.

23L'analyse des débats nous a permis de faire apparaître les conceptions des membres des deux communautés, à propos des objets premiers de la géométrie et de leur utilisation en classe.
Les stagiaires de mathématiques sont capables de fournir « plusieurs définitions précises » de la droite (« par une équation cartésienne, par un point et une direction, par deux points, par une relation vectorielle ») et du point (« par un ensemble de n coordonnées dans un espace à n dimensions, par l'intersection de deux droites »). Ces définitions n'ont pas, comme on pourrait s'y attendre, un caractère axiomatique, mais reposent, pour la plupart, sur le changement de registre algébrique/graphique.

24Par contre, pour les physiciens, « la droite n'a pas besoin d'être définie » car « elle ne sert qu'à exploiter des points expérimentaux pour montrer une relation de linéarité » ou parce qu'elle n'est qu'un « cas idéal » et donc « n'existant pas », « la droite réelle n'étant en fait qu'un segment [...] dont les limites sont imposées par les contraintes matérielles », et « d'une épaisseur imposée par la précision des mesures ». Dans le même ordre d'idée, le point n'existe pas, car seule une « tache représente un état du système affecté de l'incertitude des mesures ». Cette position a été résumée par un des stagiaires de sciences physiques en réponse à une remarque de mathématicien qui craignait que le concept de droite ne soit confondu avec le trait du graphique par la phrase :

« Je regrette que mes élèves ne fassent pas des taches assez grosses et des bandes assez larges parce que, expérimentalement [...] je préférerais qu'ils fassent une tache qui couvre le domaine d'incertitude ; là, il ferait de la physique. A partir de là, on passe à la notion de droite virtuelle et de point virtuel et on change de niveau ; on passe aux maths ».

25Ainsi, il apparaît que les stagiaires des deux disciplines ont du mal à se comprendre lorsqu'on aborde le problème du statut de la droite qui « existe sans être représentée » pour les mathématiciens, alors qu'« elle n'est qu'un outil de travail » sans existence propre pour les physiciens. Ces écarts de conception nous ont amenés à comparer le registre graphique du cadre de rationalité de la physique à celui du cadre de rationalité des mathématiques, en nous centrant sur deux éléments figuratifs particuliers : le point et la droite. Le tableau ci-dessous donne une vision synthétique de nos analyses.

26Il apparaît sur ce tableau que les différences entre le registre graphique des mathématiques et celui de la physique se situent à la fois au niveau de la nature des signes et au niveau des règles de combinaison de ces signes pour produire des représentations. Pourtant, c'est sur l'illusion de continuité de ce registre que repose le jeu entre les mathématiques et la physique dans l'apprentissage de la loi d'Ohm lorsqu'on cherche à faire déterminer graphiquement la résistance d'un dipôle par lecture graphique du coefficient directeur de la « droite » U = f (I).

Analyse de productions d'élèves

27Dans une séquence d'ingénierie didactique, nous avons cherché à mettre en évidence d'autres types de ruptures liées aux passages du cadre culturel des mathématiques à celui de la physique. En particulier, nous nous sommes intéressés à l'influence de la dimensionnalité des quantités physiques sur les règles de traitement du registre algébrique.

28Nous avons proposé aux élèves le montage ci-contre (Fig. 5) composé d'un générateur de tension continue mais réglable, de deux dipôles (1 et 2), de divers appareils de mesure et des fils de connexion nécessaires.

Figure 5
Montage circuit série présenté aux élèves.

29Pour diverses valeurs de la tension du générateur, nous avons relevé, en classe, les indications données par chaque appareil de mesure et consignées dans le tableau ci-dessous.

30L'examen attentif de ces données d'un point de vue purement numérique révèle une propriété surprenante, à savoir que la valeur de la tension du générateur est égale à la somme des tensions U1 et U2, augmentée de la mesure en ampères de l'intensité circulant dans le circuit. Ceci n'est pas le fruit du hasard mais est dû au fait que la résistance interne de l'ampèremètre a été délibérément choisie égale à 1 ohm.
Cette particularité va amener les élèves à travailler sur les deux relations : U générateur = U1 + U2 + I et U générateur  U1 + U2

31La première relation, du fait de l'égalité stricte, est cohérente avec les règles de rationalité du cadre des mathématiques, mais n'est pas acceptable dans le cadre de rationalité des sciences physiques car elle ne satisfait pas aux règles d'homogénéité dimensionnelle. Par contre, la seconde, du fait de l'approximation des mesures met en défaut la rationalité des mathématiques. Nous avons demandé aux élèves de se prononcer sur la validité de ces deux relations.

32Il s'avère qu'une écrasante majorité affirme sa préférence pour l'égalité stricte. Parmi les justifications proposées, on trouve de façon massive une remarque sur la hiérarchie entre les égalités strictes ou approximatives :

« La première loi est la meilleure parce qu'on a un signe = alors que l'autre n'est qu'une loi approximative ».
Ou encore sur la nécessité de l'exactitude de l'égalité :
« Une formule pas précise n'est pas juste ».

33D'autres facteurs interviennent aussi dans ce choix, notamment la nécessité de faire intervenir dans une formule toutes les données de l'énoncé, ou la nécessité de rapprocher toutes les quantités qui varient simultanément. Cependant l'analyse des justifications écrites et orales montrent que les raisons liées à la différence de nature dimensionnelle des quantités physiques sont totalement absentes des raisonnements qui conduisent à la discrimination de lois physiques à partir de relations numériques.

34Les élèves traitent donc les données numériques expérimentales comme des nombres purs. Ils se placent ainsi dans le cadre des mathématiques pour établir des relations numériques. Ensuite, ils postulent implicitement la continuité de registre entre les deux cadres de rationalité pour transporter la relation dans le cadre de la physique.

Conclusion

35Le modèle d'analyse des processus de conceptualisation que nous avons étudié permet d'aborder en termes de changements de cadres de rationalité et de changements de registres sémiotiques l'analyse inter-didactique de stratégies d'enseignement et d'apprentissage.

36La mise en œuvre de la notion de registre nécessite de s'interroger sur la spécificité disciplinaire des registres sémiotiques. Nos exemples montrent en effet que la nature des éléments significatifs et des règles de traitement d'un registre dépendent tout autant de la nature du problème à traiter (et donc des règles de rationalité) que du registre lui-même. Il nous paraît difficile dans cette approche de séparer un registre du cadre de rationalité qui lui donne sens.

37En particulier, dans l'étude du concept de résistance, via la loi d'Ohm, nous avons mis en évidence l'obstacle de non continuité du registre graphique cartésien et du registre algébrique ainsi que l'obstacle du changement de règles de raisonnement entre les deux cadres de rationalité. D'autres obstacles, liés à la difficulté que rencontrent les élèves pour coordonner des registres sémiotiques différents apparaissent à l'occasion de changements de registres dans un même cadre de rationalité. La conceptualisation scientifique ne s'arrêtant pas aux bornes des disciplines, il reste à concevoir des stratégies d'enseignement dépassant la dimension disciplinaire pour traiter sur le fond les problèmes que nous avons soulevés.

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Bibliographie

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Notes

1  Le terme « registre » employé par ces auteurs recouvre dans notre terminologie la notion de cadre personnel de rationalité.

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Table des illustrations

Légende Figure 1Stratégie de la notion-objet.
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Fichier image/jpeg, 12k
Légende Figure 2Stratégie de la notion-outil.
URL http://trema.revues.org/docannexe/image/1629/img-2.png
Fichier image/png, 19k
Légende Figure 3Champ conceptuel et cadres de rationalité.
URL http://trema.revues.org/docannexe/image/1629/img-3.png
Fichier image/png, 63k
Légende Figure 4Coordination des notions de cadre de rationalité et de registre sémiotique.
URL http://trema.revues.org/docannexe/image/1629/img-4.png
Fichier image/png, 45k
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Fichier image/png, 1,5M
Légende Figure 5Montage circuit série présenté aux élèves.
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Fichier image/png, 23k
URL http://trema.revues.org/docannexe/image/1629/img-7.png
Fichier image/png, 407k
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Pour citer cet article

Référence papier

Didier Malafosse, Alain Lerouge et Jean-Michel Dusseau, « Notions de registre et de cadre de rationalité en inter-didactique des mathématiques et de la physique », Tréma, 18 | 2000, 49-60.

Référence électronique

Didier Malafosse, Alain Lerouge et Jean-Michel Dusseau, « Notions de registre et de cadre de rationalité en inter-didactique des mathématiques et de la physique », Tréma [En ligne], 18 | 2000, mis en ligne le 01 décembre 2000, consulté le 18 octobre 2017. URL : http://trema.revues.org/1629 ; DOI : 10.4000/trema.1629

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Auteurs

Didier Malafosse

Groupe GRIMP (Groupe de Recherches en Inter-didactique des Mathématiques et de la Physique), laboratoire ERES (Etudes et Recherches sur l’Enseignement Scientifique - EA 730), Université Montpellier II

Alain Lerouge

Groupe GRIMP (Groupe de Recherches en Inter-didactique des Mathématiques et de la Physique), laboratoire ERES (Etudes et Recherches sur l’Enseignement Scientifique - EA 730), Université Montpellier II

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Jean-Michel Dusseau

Groupe GRIMP (Groupe de Recherches en Inter-didactique des Mathématiques et de la Physique), laboratoire ERES (Etudes et Recherches sur l’Enseignement Scientifique - EA 730), Université Montpellier II

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